百里乘之为法。
〔按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万
里，得钱四十。于今有术，为所有率。〕
以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。
〔以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四
十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕
今有负笼重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步，
问返几何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
术曰：以今所行步数乘今笼重斤数，为法。
〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕
故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。
〔按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者一斤一日所行之积步。故以一
返之课除终日之程，即是返数也。
淳风等按：此术，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然则故所行者今
返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此
负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、
实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。
力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此
术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之
数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗进二里半，
负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问返几何？答曰：一百
五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如
法而一，即得也。〕
今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五
日三返，问太仓去上林几何？答曰：四十八里一十八分里之一十一
术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，
为实。实如法得一里。
〔此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日
为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今
求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率，
以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。
各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往
空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐
而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十
五里之路，往返用六日。故并空、重者，并齐也；空、重相乘者，同其母也。于
今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返
之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。〕
今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一
斤，问本络丝几何？答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。
术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤
两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。
〔按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。
又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率
三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之
数也。又以络率十六乘之，所得为实；以练率十二为法。所得，即练丝用络丝之
数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并
除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。 一曰：又置络丝一斤两数与练丝十
二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一
十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同
其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝
一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此，
但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言
同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。 又一术：今有青丝一斤铢
数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以
络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕
今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今yù求米一十斗，问恶粟几何？
答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置米十斗，以十乘之，又以恶
粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。
〔按：此术置今有求米十斗，以粝米率十乘之，如率九而一，即
化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重
今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘
前法而并除之也。〕
今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者
追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者
之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。
〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行
一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一
百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕
今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善
行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。
术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善
行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。
〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓
之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，
即得也。其意如上术也。〕
今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行
几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘
犬追步数为实。实如法得一步。
〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百
五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步
为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕
今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。
问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。
术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法
得一钱。
〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者
也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税，
则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，
十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕
今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及，
与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。
术曰：置四分日之三，除三分日之一，
〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有
十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕
半其余，以为法。
〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人
与客均行用日之率也。〕
副置法，增三分日之一。
〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之
前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。
是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。
母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，
十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕
以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。
〔yù知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，
得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用
日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕
今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重
几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤
八两。次一尺重四斤。
术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。
副置，以差率减之，每尺各自为衰。
〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以
四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。
今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上
第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕
副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。
〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘
一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为
法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕
今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱
六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之
四。
术曰：置钱，锥行衰。
〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，
为一列者也。〕
并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。
〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕
以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。
〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则
得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下
部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有
之，即得等耳。假令七人分七钱，yù令上二人与下五人等，则上、下部差三人。
并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均
减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为
下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。
实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节yù均容，各多少？
答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十
六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分
升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三
十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。
〔此二率者，各其平率也。〕
上、下率以少减多，余为实。
〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中
间五节半之凡差，故以为实也。〕
置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。
〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半
之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕
下率一升少半升者，下第二节容也。
〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕
今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何
日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。
〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九
至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。
故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：
凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至
之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁
日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕
今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发
长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。
术曰：并五日、七日，以为法。
〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日
一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。
谓甲、乙与发之率耳。然则日
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